1. 什么是有效數(shù)字呢?
⑴有效數(shù)字是指在分析和測量中所能得到的有實際意義的數(shù)字。測量結(jié)果是由有效數(shù)字組成的(前后定位用的“0”除外)。
例如 測量結(jié)果1.1080g,組成數(shù)字1、1、0、8、0都是實際測讀到的,它們是表示試樣質(zhì)量大小的,因而都是有實際意義的。
⑵有效數(shù)字的前幾位都是準(zhǔn)確數(shù)字,只有最后一位是可疑數(shù)字。
例如前述的1.1080, 前幾位數(shù)字1、1、0、8都是稱量讀到的準(zhǔn)確數(shù)字,而最后一位數(shù)字0則是在沒有刻度的情況下估讀出來的,是不準(zhǔn)確的或者說可疑的。
⑶有效數(shù)字是處于表示測量結(jié)果的數(shù)值的不同數(shù)位上。所有有效數(shù)字所占有的數(shù)位個數(shù)稱為有效數(shù)字位數(shù)。
例如 數(shù)值3.5,有兩個有效數(shù)字,占有個位、十分位兩個數(shù)位,因而有效數(shù)字位數(shù)為兩位;3.501有四個有效數(shù)字,占有個位、十分位、百分位等四個數(shù)位,因而是四位有效數(shù)字。
⑷測量結(jié)果的數(shù)字,其有效位數(shù)反映了測量結(jié)果的精確度,它直接與測量的精密度有關(guān)。這也是有效數(shù)字實際意義的體現(xiàn),是非常重要的體現(xiàn)。
例如 前述例子中,若測量結(jié)果為1.1080g,則表示測量值的誤差在10-4量級上,天平的精度為萬分之一;若測量結(jié)果為1.108g,則表示測量值的誤差在10-3量級上,天平的精度為千分之一。
2、有效數(shù)字位數(shù)的確定原則
在確定有效數(shù)字位數(shù)時應(yīng)遵循下列原則:
⑴數(shù)值中數(shù)字1~9都是有效數(shù)字。
⑵數(shù)字“0”在數(shù)值中所處的位置不同,起的作用也不同,可能是有效數(shù)字,也可能不是有效數(shù)字。判定如下:
① “0”在數(shù)字前,僅起定位作用,不是有效數(shù)字。
例如 0.0257中, “2”前面的兩個“0”均非有效數(shù)字。 0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效數(shù)字。
②數(shù)值末尾的“0”屬于有效數(shù)字。
例如 0.5000中, “5”后面的三個“0”均為有效數(shù)字;0.50中, “5”后面的一個“0”也是有效數(shù)字。
③數(shù)值中夾在數(shù)字中間的“0”是有效數(shù)字。
例如 數(shù)值1. 008中的兩個“0”是均是有效數(shù)字;數(shù)值8. 01中間的 “0”也是有效數(shù)字。
④以“0”結(jié)尾的正整數(shù), “0”是不是有效數(shù)字不確定,應(yīng)根據(jù)測試結(jié)果的準(zhǔn)確度確定。
例如 3600,后面的兩個“0”如果不指明測量準(zhǔn)確度就不能確定是不是有效數(shù)字。測量中遇到這種情況,最好根據(jù)實際測試結(jié)果的精確度確定有效數(shù)字的位數(shù),有效數(shù)字用小數(shù)表示,把“0”用10的乘方表示。如將3600寫成3.6×103表示此數(shù)有兩位有效數(shù)字;寫成3.60×103表示此數(shù)有三位有效數(shù)字;寫成3.600×103表示此數(shù)有四位有效數(shù)字。
3.修約間隔
修約間隔又稱修約區(qū)間或化整間隔,系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔一般以k×10n(k=1,2,5;n為整數(shù))的形式表示,將同一k值的修約間隔,簡稱為“k”間隔。
修約間隔的數(shù)值一經(jīng)確定,修約值即應(yīng)為該數(shù)值的整數(shù)倍。
例如 指定修約間隔為0.1,修約值即應(yīng)在0.1的整數(shù)倍中選取,相當(dāng)于將數(shù)值修約到一位小數(shù)。
• 1.0239修約到0.01,為1.02,
• 1.02÷0.01=102(倍)
4.修約數(shù)位及確定修約位數(shù)的表達(dá)方式
修約時擬將擬修約數(shù)的哪一位數(shù)位后部分按修約規(guī)則舍去,則該數(shù)位就是修約數(shù)位。
數(shù)值修約時需要先明確修約數(shù)位,確定修約位數(shù)的表達(dá)方式如下:
⑴指明具體的修約間隔。如指明將某數(shù)按0.2(2×10-1)修約間隔修約、100 (1×102)修約間隔修約等。
⑵指定將擬修約數(shù)修約至某數(shù)位的0.1、0.2或0.5個單位。
⑶指明“k”按間隔將擬修約數(shù)修約為幾位有效數(shù)字,或修約至某數(shù)位。這時“1” 間隔可不必指明,但“2”間隔和“5”間隔必須指明。
1、GB/T 8170-2008 《數(shù)值修約規(guī)則》
⑴擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時,則舍去,即保留的各位數(shù)字不變。
例如 將12.1498修約到一位小數(shù),得12.1。
例如 將12.1498修約成兩位有效位數(shù),得12。
⑵擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5;或者是5,而其后跟有并非全部為0的數(shù)字時,則進(jìn)一,即保留的末位數(shù)字加1。
例如 將1268修約到“百”數(shù)位,得13×102(特定時可寫為1300)。
例如 將1268修約成三位有效位數(shù),得127×10(特定時可寫為1270)。
例如 將10.502修約到個數(shù)位,得11。
注:“特定時”的涵義系指修約間隔或有效位數(shù)明確時。
⑶擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5,而右面無數(shù)字或皆為0時,若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)(1,3,5,7,9)則進(jìn)一,為偶數(shù)(2,4,6,8,0)則舍棄。
⑷負(fù)數(shù)修約時,先將它的絕對值按上述⑴⑵⑶規(guī)定進(jìn)行修約,然后在修約值前面加上負(fù)號。
⑸ 0.5單位修約與0.2單位修約
① 0.5單位修約 既將擬修約數(shù)乘以2,按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約,所得數(shù)再除以2。
② 0.2單位修約 既將擬修約數(shù)乘以5,按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約,所得數(shù)值再除以5。
2.通用數(shù)值修約方法
⑴如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中,只有一個數(shù)最接近于擬修約數(shù),則該數(shù)就是修約數(shù)。
例如 將1.150001按0.1修約間隔進(jìn)行修約。此時,與擬修約數(shù)1.150001鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1.1和1.2(分別為修約間隔的11倍和12倍),然而只有1.2最接近于擬修約數(shù),因此1.2就是修約數(shù)。
⑵如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中,有連續(xù)兩個數(shù)同等接近于擬修約數(shù),則這兩個數(shù)中,為修約間隔偶數(shù)培的數(shù)就是修約數(shù)。
例如,將1150按100修約間隔行修約。此時,與擬修約數(shù)1150鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1100和1200(分別為修約間隔的11倍和12倍),這兩個數(shù)同等接近于擬修約數(shù),然而1200為修約間隔的偶數(shù)培(12倍),因此1200 就是修約數(shù)。
⑶一個數(shù)據(jù)的修約只能進(jìn)行一次,不能分次修約。
1.加減運算
幾個數(shù)相加減的結(jié)果,經(jīng)修約后保留有效數(shù)字的位數(shù),取決于絕對誤差最大的數(shù)值,計算結(jié)果應(yīng)以絕對誤差最大(即小數(shù)點后位數(shù)最少)的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn),來決定計算結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)。
在實際運算過程中,各數(shù)值保留的位數(shù)比各數(shù)值中小數(shù)點后位數(shù)最少者多保留一位小數(shù),而計算結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與效數(shù)最少的一數(shù)相同。
例如 29.2+36.582-3.0281=62.8
2.乘除運算
幾個數(shù)據(jù)的乘除運算以相對誤差最大(即有效數(shù)字位數(shù)最少)的數(shù)值為基準(zhǔn)來決定結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)。
在實際運算中,先將各數(shù)值修約至比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字運算,計算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)值相同。(與小數(shù)點位置無關(guān))
例如, 0.235438×28.6×61.8911
≈0.2354×28.6×61.89
=414.6707116
三個參與運算的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)分別為六位、三位、六位,所以最終計算結(jié)果用三位有效數(shù)字表示,為415或4.15×102。
3.乘方和開方
乘方或開方時,原數(shù)值有幾位有效數(shù)字,計算結(jié)果就可以保留幾位有效數(shù)字。若計算結(jié)果還要參與運算,則乘方或開方所得結(jié)果可比原數(shù)值多保留一位有效數(shù)字。
例如:3.582=12.8614,運算結(jié)果保留三位有效數(shù)字,為12.9。
4.對數(shù)運算
在數(shù)值對數(shù)計算時,所取對數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)(不包括首數(shù))應(yīng)與真數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。換言之,對數(shù)有效數(shù)字的位數(shù),只計小數(shù)點以后的數(shù)字的位數(shù),而不計對數(shù)的整數(shù)部分。
例如:log(100.44)
= log(1.0044×102)
= 2.0019067…。
最后結(jié)果應(yīng)為2.00191,結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)是五位(小數(shù)后位數(shù))而不是六位(整數(shù)位數(shù)加小數(shù)位數(shù)),因整數(shù)部分只說明該數(shù)的10的方次。
5.平均值
計算幾個數(shù)值的平均值時,先將計算結(jié)果修約至比要求的位數(shù)多一位,再按數(shù)值修約規(guī)則處理。
6.方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差
方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差在運算過程中對中間結(jié)果不做修約,只將最后結(jié)果修約至要求的位數(shù)。
注意:
⑴在所有計算式中,常數(shù)(π、e等)以及非檢測所得的計算因子(倍數(shù)或分?jǐn)?shù)等)的有效數(shù)字位數(shù),可視為無限,需要幾位就取幾位。
⑵使用計算器(或電腦)進(jìn)行計算時,一般不對中間每一步驟的計算結(jié)果進(jìn)行修約,僅對最后的結(jié)果進(jìn)行修約,使其符合事先所確定的位數(shù)。
數(shù)值修約你學(xué)會了嗎?